Les problèmes additifs

Parmi les classes de problèmes que les élèves doivent maîtriser à la sortie de l’école primaire figure celle des problèmes additifs, c’est-à-dire des problèmes qui n’exigent, du point de vue des mathématiques, que la mobilisation des outils de calculs que sont l’addition et la soustraction. Leur maîtrise est pourtant souvent loin d’être acquise par les élèves qui entrent au collège.
Qu’en est-il au juste ? Dans ces pratiques pédagogiques, nous ne considérerons que les problèmes additifs faisant appel à une ou deux transformations, sans oublier cependant les problèmes de comparaison d’états qui s’imposent dès lors qu’il s’agit de désigner une transformation.
Voici trois énoncés de problèmes que nous invitons le lecteur à résoudre sans regarder la solution qui se trouve en note.

Premier problème (1) : Héloïse a 5 coquillages dans son panier. Elle reçoit 3 coquillages qu’elle met aussi dans son panier. Combien a-t-elle maintenant de coquillages dans son panier ? Deuxième problème (2) : Luc joue deux parties de billes. En tout il a gagné 7 billes. À la deuxième partie, il a perdu 4 billes. Que s’est-il passé à la première partie ? (D’après Gérard Vergnaud.) Troisième problème (3) (attribué à G. Vergnaud) : Monsieur Durand veut faire une installation électrique nouvelle dans 3 pièces de sa maison. Il estime qu’il lui faut 130 mètres de fil électrique, 4 interrupteurs et 9 prises ainsi que des douilles. Il lui reste, d’une précédente installation, 37 mètres de fil électrique qu’il va utiliser. Il est donc obligé de racheter du fil. Après avoir terminé son installation, il s’aperçoit qu’il a utilisé 4 mètres de fil de moins que prévu et qu’il lui en reste 11 mètres. Quelle longueur de fil a-t-il achetée ?

Au fait, faciles ces énoncés ? Pas faciles ? Ces trois problèmes ont en commun de reposer sur des fictions ; fictions qui pourraient être écrites dans l’ordre chronologique, constituant alors ce que l’on pourrait appeler l’histoire sous-jacente à l’énoncé. Mais ces histoires doivent être reconstruites car une des données au moins est manquante et fait l’objet de la question du problème. Construire l’histoire est donc équivalent à résoudre le problème. Mais, si la reconstruction de l’histoire est simple dans le premier cas, elle l’est moins dans le deuxième dont l’énoncé, d’une part ne respecte pas l’ordre chronologique, et d’autre part ne donne aucun point d’appui comme le nombre de billes de Luc avant ou après les deux parties. Le troisième énoncé, qui fait état de données non pertinentes pour la résolution du problème, mobilise un verbe dont il conviendrait de préciser le sens (estimer). Un travail sur la langue s’impose donc. La langue est le registre de signes dans l...