La nécessité de conserver la mémoire de quantités d’entités (vaches, moutons, pains…) a conduit l’homme à mettre en relation des collections de ces “objets” avec d’autres collections les représentant et plus faciles à conserver ; des cailloux (qui ont donné leur nom au calcul, des incisions au couteau dans des pièces de bois, etc.). Ces traces et les objets représentés avaient la propriété de pouvoir être associés un à un.

Du nombre…
C’est cette mise en relation un à un biunivoque possible (bijection) qui définit un nombre entier dit naturel. Ainsi, le nombre désigné par trois en langue naturelle est ce qu’il y a de commun aux quatre ensembles suivants (outre l’origine informatique commune des éléments) {a , π , L} ; {/ , J , p} ; {× , 5 , b} ; {9 , G , -}. Ce nombre est souvent désigné par le symbole 3, mais il n’est pas ce symbole, pas plus qu’il n’est le mot trois, de la même manière que M. Durand n’est pas son nom, mais une personne, quelque chose d’une autre nature. Le nombre, concept abstrait, transcende ainsi le réel. D’ailleurs, en base trois, le nombre dont il est question ci-dessus se dirait toujours trois en langue naturelle et serait désigné par l’écriture 10 (qui ne se lirait pas dix). Zéro est un nombre qui a longtemps manqué dans la liste des entiers naturels car il n’était pas “naturel” de devoir conserver la trace d’aucun élément. C’est l’écriture des nombres, dans une numération de position, et surtout la nécessité de calculer aisément qui ont imposé sa naissance il y a relativement peu de temps. Jusque-là, il n’est question que des nombres entiers. Pourquoi d’autres nombres ? Chacun a déjà observé un thermomètre usuel, cet instrument comporte un 0, des graduations (souvent en rouge) sous le 0 et des graduations au-dessus. Les nombres entiers relatifs (du latin -lat- “qui porte”, et re- “en arrière”), permettent ainsi de repérer des températures comme – 5°. Mais ces nombres n’étant pas au programme, nous ne les évoquerons pas plus avant, sauf à signaler qu’ils permettent de compléter des écritures comme 8 + = 3. En revanche, les nombres rationnels figurent au programme de l’école. On peut les aborder par la géométrie, en considérant de manière première et tout à fait intuitive que tout segment a une longueur et que cette longueur se traduit par un nombre. Découpons avec un guide-âne un segment de longueur 4 en 7 segments de même longueur. Il est alors légitime de se demander quelle est la longueur de chacun de ces segments. Si l’on appelle l cette longueur, on a l + l + l + l + l + l + l = 4, expression que l’on peut écrire 7 x l = 4. Les élèves peuvent cherc...