La pratique la plus courante à l’école consiste à faire de la géométrie en prenant appui sur des supports papiers (fichiers, manuels, fiches, etc.). On commence bien souvent par le tracé soigné de traits, de segments de droites, de droites, d’angles droits. À un stade plus avancé, on donne quelques propriétés du carré, du rectangle, du cercle et de quelques autres figures géométriques. L’élève dessine des formes géométriques, complète des constructions géométriques, écrit et suit des programmes de construction, fabrique des patrons, etc. On aborde avec lui les grandeurs, la mesure. Le concept de longueur et celui d’aire sont mis en place et on s’attache non sans mal à éviter les confusions.

La géométrie à l’articulation de trois espaces
Cette géométrie semble être celle décrite par les programmes. C’est une géométrie d’un espace intermédiaire, entre l’espace réel, celui du monde dans lequel nous vivons et l’espace de la géométrie théorique, celui du mathématicien. Ce dernier espace est un espace qui n’existe pas sur le papier, un espace défini par une axiomatique, dans lequel les segments de droites n’ont pas d’épaisseur, dans lequel toutes les figures sont parfaites, dans lequel on ne manipule pas, dans lequel seul fonctionne le raisonnement déductif. Cet espace théorique, vers lequel l’enseignement conduira ultérieurement l’élève, et l’espace dans lequel il vit partagent l’espace intermédiaire : celui des représentations papier/crayon. Dans cet espace intermédiaire, on fera des dessins (de la cour, de la salle, d’une tour, d’un alignement de poteaux verticaux, d’un massif de fleurs, etc.). Les objets théoriques appelés figures (carré, rectangle, segment de droite, cône, pyramide, sphère, etc.) sont représentés dans cet espace du papier par les mêmes dessins, éventuellement complétés par des indications de mesures de longueurs, de parallélisme ou d’orthogonalité. Dans cet espace intermédiaire s’effectue la rencontre entre le monde réel représenté et la représentation réelle d’un monde théorique. Il est, pour l’élève, un passage entre le monde réel et le monde de la géométrie du mathématicien. Cette géométrie ne s’est pas construite ex nihilo, mais à partir du monde réel constitué de l’espace qui nous entoure, en réponse à des problèmes : de repérage, de mémoire de forme, de mémoire d’aire, de calcul d’aire, d’optimisation, etc. On peut dès lors penser que faire résoudre à l’enfant de nombreux problèmes dans l’espace réel lui permet de mieux saisir les représentations du monde et d’avancer plus sûrement vers la géométrie théorique.

Une classe de problèmes un peu oubliée
La grande classe des problèmes d’optimisation, qui constitue pourtant les fondements cachés des programmes du cycle...